Est-ce que tout problème a une solution ? Réponse: ça dépend !

Question : est-ce que tout problème a une solution ?
Réponse: ça dépend.
De Gaulle. Il y a certains problèmes politiques qui n’ont pas de solutions.
Je dirais que toute solution a un prix. est-on prêt à le payer ?
Notre problème (de qui ? à remplir la case blanche par le problème que vous vous posez: par exemple, Liban, Palestine, le problème de couples, etc..., etc...) a-t-il une solution ?
Sommes-nous capables de trouver une solution ?
Sommes-nous prêts à en payer le prix ?

En mathématiques, la résolution d’un système d’équations multiples à inconnues multiples dépend du nombre d’équations, soit m, et du nombre d’inconnues, soit n. Cela dépend aussi de deux autres critères : (1) le critère de consistance et (2) le critère d’indépendance fonctionnelle.

Supposons qu’on ait m équations et n variables ou inconnues. Il existe différents cas :
1) m>= n ;
2) m<= n ;
3) m = n ;

1) si m< n, il y a en général soit aucune solution soit une infinité de solution.
2) Si m=n, il y a soit aucune solution (si inconsistance), soit si le système est indépendant, une solution unique, soit si le système est dépendant mais consistent, une infinité de solutions.
3) Si m > n, ça dépend. Si les équations sont consistantes, il pourrait y avoir une infinité de solutions ou une solution unique.

Comment prouver l’inconsistance ? Il faut procéder équation par équation et procéder par étapes, en éliminant une à une les variables pour voir si le système est consistant ou inconsistant.

Si la relation n’est pas linéaire, on peut linéariser le système ‘autour’ d’un point d’équilibre ou d’un point stable (steady state). Si le système n’est pas en équilibre ou loin d’un point d’équilibre, on ne peut linéariser le système et cela devient impossible de résoudre le système de cette manière. On peut trouver des solutions empiriques mais non théoriques, en procédant par différentes méthodes de recherche des points d’équilibre.

Il y aurait certains problèmes qui seraient sans aucune solution directe. Pour toutes ces questions insolubles, on aurait inventé dieu.

© 2009 Marwan Elkhoury